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チェビシェフの不等式(-ふとうしき)は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフにより初めて証明された。

標本あるいは確率分布は、平均のまわりに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差の間に、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から 2標準偏差以上離れた値は全体の 1/4 を超えることはなく、一般にn標準偏差以上離れた値は全体の

1/n² を超えることはない。

◆一般的表現

この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合(測度空間の次元が 1)として、確率論での形が導かれる。

◇測度論的表現

(X,Σ,μ) を測度空間、f を X 上で定義された拡張実数(無限大を含む)値可測関数とすると、任意の実数 t > 0 に対して

:$\backslash mu(\backslash )\; \backslash leq\backslash int\_X\; f^2\; \backslash ,d\backslash mu$

となる。より一般的には、 g が非負実数値可測関数で、 f の範囲で減少しないとすれば、

:$\backslash mu(\backslash )\; \backslash leq\backslash int\_X\; g\backslash circ\; f\backslash ,\; d\backslash mu$

となる。最初の式は、ここでg(t) を

:

で定義し、f の代わりに |f| を用いれば導かれる。

◇確率論的表現

X を、期待値がμ、有限の分散がσ²である確率変数とすると、任意の実数k > 0に対して

:$\backslash Pr(\backslash left|X-\backslash mu\backslash right|\backslash geq\; k\backslash sigma)\backslash leq\backslash frac$

ただしk > 1 の場合にだけ意味がある。

例として、 k=√2 を使えば、少なくとも半数の値は区間 (μ − √2 σ, μ + √2 σ)内に存在することがわかる。

チェビシェフの不等式は大数の法則(弱法則)の証明に用いられるものとして特に重要である。

◇応用例

わかりやすい例として、大量の文書があるとしよう。その文章の長さは平均1000文字、標準偏差は200文字であることがわかっているとしよう。するとチェビシェフの不等式から、少なくとも75%の文章が600から1400文字の長さであることが導かれる(k = 2 の場合)。

◆証明

◇測度論的な証明

A_t を A_t = で定義し、

:$1\_$

を集合 A_t の指示関数とすると、簡単にわかるように

:$0\backslash leq\; g(t)1\_\backslash leq\; g\backslash circ\; f\backslash ,1\_\backslash leq\; g\backslash circ\; f$

であり、従って

:$g(t)\backslash mu(A\_t)=\backslash int\_X\; g(t)1\_\backslash ,d\backslash mu\backslash leq\backslash int\_g\backslash circ\; f\backslash ,d\backslash mu\backslash leq\backslash int\_X\; g\backslash circ\; f\backslash ,d\backslash mu$

となる。上の不等式をg(t)で割れば、目的の不等式が得られる。

◇確率論的な証明

任意の実数ランダム変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マルコフの不等式から Pr(|Y| > a)≤ E(|Y|)/a であることがわかる。 a = (σk)² として、確率変数 Y = (X − μ)² にマルコフの不等式を適用することで、チェビシェフの不等式が証明できる。

また直接証明する方法もある。事象 A に対しI_A が A の指示関数に従う確率変数である(つまり A が起これば I_A は 1 に等しく、そうでなければ 0 である)とする。すると

::$\backslash Pr(|X-\backslash mu|\; \backslash geq\; k\backslash sigma)\; =\; \backslash operatorname(I\_)=\; \backslash operatorname(I\_)$

:

と証明される。

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