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テイラー展開(テイラーてんかい、Taylor expansion)とは、無限回微分可能な関数 f(x) から、テイラー級数(テイラーきゅうすう、Taylor series)と呼ばれる、負冪の項を持たない冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。

f(x)が一変数関数の場合には

:$$

\sum_^ \frac(a) --> (x - a)^

この級数がもとの関数 f(x) に一致するとき、f(x) はテイラー展開可能であるという。

多変数関数の場合にも同様の展開法が考えられ、それもテイラー展開という。

厳密にはこの展開は x = a の近傍でのみ考えるものであり、x = a におけるテイラー展開とか、x = a のまわりでのテイラー展開という。a = 0 のとき

:$$

\sum_^ \frac(0) --> x^

を特にマクローリン展開と呼ぶ。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的である、またはその領域上の解析関数であるという。

関数が無限回微分可能であっても、テイラー級数が元の関数とすべての x で一致するとは限らない。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 R_n が 0 に収束するかどうかによって判定できる;ここで R_n は

ある c ∈ (a, x) が存在して、

:

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる;

:

◆ 例

いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらは全て複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。

;指数関数と自然対数:

:$e^=\; \backslash sum^\_\backslash frac\backslash quad\backslash mboxx$

:

;幾何級数:

:

;二項定理:

:

;三角関数:

:$\backslash sin\; x\; =\; \backslash sum^\_\backslash fracx^\backslash quad\backslash mboxx$

:$\backslash cos\; x\; =\; \backslash sum^\_\backslash fracx^\backslash quad\backslash mboxx$

:

:

:

:

;双曲線関数:

:$\backslash sinh\; x\; =\; \backslash sum^\_\backslash fracx^\backslash quad\backslash mboxx$

:$\backslash cosh\; x\; =\; \backslash sum^\_\backslash fracx^\backslash quad\backslash mboxx$

:

:

:

;ランベルトの W 関数:

:

tan(x)とtanh(x)の展開に現われる数 B_k はベルヌーイ数である。 二項展開の C(α,n) は二項係数である。 sec(x) の展開に現われる E_k はオイラー数である。

◆和算におけるテイラー展開

同時期の鎖国下の日本において、1720頃に和算家建部賢弘によってテイラー級数が使用されている。なんらかの公式であるとは認識してはいなかっただろうが、正1024角形のみを用いた40桁程度の円周率を導き出している。実質はの級数に$x\; =\; 1/2$を代入したものである。

後に松永良弼はこれを更に70桁台まで飛躍させた。実質は$\backslash sin^x$の級数に$x\; =\; 1/2$を代入したもの。

実のところは公式という認識にはいたってなかっただろうが、和算の功績のひとつである。

◆ 関連項目

・ 正則関数

・ ガンマ関数

・ [外部リンク] Maxima/テイラー展開

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