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ランダムウォーク()は、次に現れる位置が確率的に無作為(ランダム)に決定される運動である。乱歩(らんぽ)、酔歩(すいほ)とも。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス等の具体的モデル化に盛んに応用される。

◆ 数学的定義

X_n (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な R^d 値確率変数族とする。この時、

:$S\_n\; =\; X\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; X\_n$

を(d 次元)ランダムウォーク という。

特に、X_n が Z^d 値であり、かつ、

:$P(\; X\_n\; =\; \backslash mathbf\_j\; )\; =\; P(\; X\_n\; =\; -\backslash mathbf\_j\; )\; =\backslash frac$

($\backslash mathbf\_j$ は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル)である時、S_n を(d 次元)単純ランダムウォーク という。

◆ 例

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右(正の方向)に進め、裏が出た場合に点を左(負の方向)に進める試行(1次元のランダムウォーク)を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合$x$の分布は、$1/\backslash pi\; \backslash sqrt$の確率密度を持つ(負の領域にいる時間の割合は$1-x$)。これは$x=0$および$x=1$で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる。

◆ 基本的性質

# 再帰性

# Donsker の定理の系

◆ 応用

;レビのダスト

:宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。

;自己回避ランダムウォーク

:軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造、海岸線などのモデルとして利用されている。

◆ 関連項目

・カオス理論

・ランダム・ウォーク理論

・確率過程

・マルコフ過程

・マルコフ連鎖

・マルコフ連鎖モンテカルロ法

・ブラウン運動

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