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確率論において、伊藤の補題(いとうのほだい、''Ito's lemma)は、日本人数学者・伊藤清による、ランダムな要因を持つ確率過程に関する定理。

f(W_t)dt -->

が成立する。

つまり、ブラウン運動上の実数値関数をテイラー展開すると、3次以上の項は0となる。すなわち、2次までのテイラー展開の剰余項が0となることがわかる。(証明は伊藤ルールを使って2次までのテイラー展開の剰余項が0になることを示せばよい。)

伊藤ルールとこれを組み合わせて次のような計算ができる。

= 2W_t e^ dW_t + (e^ + 2W_t^2 e^ )dt -->

◇ 第 2 補題

f がブラウン運動 $W\_t$ 上の実数値関数関数とし, $W\_t$ について3回以上偏微分可能とすると

dW_t + \left(\frac + \frac \frac\right)dt -->

が成立する。

◇ 第 3 補題

確率過程 $\backslash$ が確率微分方程式

に従っているとき, h がブラウン運動 $W\_t$ 上の実数値関数関数とし、$W\_t$ について3 回以上偏微分可能とすると

f(X_t ,t) dW_t + \left\ + \fracg(X,t) + \frac\frac(f(X_t ,t))^2 \right\ --> dt

-->

が成立する。

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・伊藤の補題 page1