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公理(こうり、Axiom)とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系という。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。

公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された(形式的な)言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。

◆ 公理の例

以下にいくつかの公理の例を示す。

・ 命題 P が成立するなら、命題「PまたはQ」も成立する。

・ 2つの点が与えられたとき、その2点を通るような直線を引くことができる(ユークリッド幾何学)。

・ a=b なら、a+c = b+cである(ユークリッド原論を参照)。

・ どんな自然数に対しても、その数の「次の」自然数が存在する(ペアノの公理)。

・ どんなものも含まないような集合(空集合)が存在する(公理的集合論)。

・ 集合 S と条件式 P が与えられたとき、S の元のうち、条件 P(x) を満たすような x だけをからなる集合を作ることができる(公理的集合論)。

公理にもとづいて証明される命題は定理という。

以下に定理の例を示す。

・ 三角形の内角の和は180度である(ユークリッド幾何学)。

◆歴史

axiomという言葉の語源はギリシャ語のαξιωμα (axioma、価値があり適切と考えられるものあるいはそれ自身明らかなもの)である。公理の概念が明確に記述された現存する文書のうちで最も古いものは、紀元前300年頃にギリシアで書かれたユークリッドの原論である。

原論には以下の5つの公理ユークリッドはこれら5つに「公理」という言葉を用いず「公準」という言葉を用いており、他の命題を「公理」と記している。しかし現在の視点から見れば「公理」と「公準」とは同一概念で、為に現在では「公準」という言葉は使われない。が挙げられている:

# 点と点を直線で結ぶ事ができる

# 線分を延長して直線にできる

# 一点を中心にして任意の半径の円を描く事ができる。

# 全ての直角は等しい(角度である)

# 直線が 2 直線に交わり、同じ側の内角の和を 2 直角より小さくするならば、この 2直線は限りなく延長されると、2 直角より小さい角のある側において交わる。(平行線公理、第五公理)。

第五公理は「平行線の錯角は等しい」という命題と同値である事が知られているので平行線公理ともいう。これらの公理の中で最後の平行線公理は他の公理ほど自明ではない。このため平行線公理は他の4つの公理から導けるのではないかという疑問が生じた(平行線問題)。

19世紀にガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーらによって、最初の4つの公理が成立しかつ平行線公理が成立していないような幾何学の体系(双曲幾何学)が構成された事によって平行線問題は否定的に解決された。もし最初の4つの公理から平行線公理が導けるのであればこのような幾何学は存在するはずがなく、よって平行線公理は他の4つの公理からは導けないのである。平行線公理を仮定して展開されるユークリッド幾何学に対し、双曲幾何学のように最初の4つの公理は満たすが平行線公理のみは満たさないような幾何学を非ユークリッド幾何学といわれる。双曲幾何学の発見により、互いに相容れない前提にもとづく様々な数学の体系がありうる事が認識されるようになった。

20世紀はじめにはヒルベルトを中心とした数学の抽象化・形式化の運動の中で、公理にもとづき理論を展開するという立場が強調された。公理系に求めるべき妥当性として、矛盾が導かれないことや、必ず成立するような命題は全て証明可能であることがあげられる。ヒルベルトは有限のデータによって定まり(有限の立場)このような妥当性を満たす公理系をもとにして数学を展開することを目指した(ヒルベルト・プログラム)。この考え方はハウスドルフらによる位相空間論、ブルバキによる数学の再編成などを通じて20世紀の数学に大きな影響を与えた。しかしゲーデルの不完全性定理によって「普通の数学」(自然数論)を展開できるような公理系では(体系が無矛盾である限り)その無矛盾性を与えられた公理系だけからは証明できないことがしめされ、ヒルベルトが思い描いた形でのヒルベルト・プログラムは実現しないことがわかった。

◆ 公理の形式性

公理にもとづく数学の定式化は、記述の定式化を促し、さらに数学をものの内在的な意味からはなれた形式的な記号の操作だと見なす考え方を導いた。公理とは前提として任意に選ばれた論理式にすぎず、その論理式から単なる記号操作で得られる論理式が定理であるという立場をとる論理学者や数学者もいる。このような考え方にたてば、ユークリッド幾何学における点や直線、平面はによって指定される性質を満たすに限りの抽象的な対象にすぎず、現実世界におけるいかなる物体を表しているわけでもないことになる。現実世界における点や直線、平面の形をしたものやそれらの間の関係性を調べることは、ユークリッド幾何学の意味(セマンティックス)を推察する助けにはなるが、公理にもとづく定理の推論(ユークリッド幾何のシンタックス)がそこから直ちに従うわけではないことになる。

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