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数理モデル(すうりもでる、)とは、数学によって記述されたモデルのことである。モデルは「模型」と訳されることもある。

数理モデルは、自然科学においてのみではなく、社会科学においても用いられる。数理モデルが用いられている分野を網羅することは難しいと考えられるが、例えば、物理学、工学、生物学、経済学、心理学、計算機科学、生態学、神経科学、分子生物学、免疫学、地球物理学、天文学、電気回路、機械工学、航空工学、気象学、言語学、伝染病感染予測、オペレーションズ・リサーチなどがある。特に、物理学、工学、経済学で盛んである。

近年はコンピュータの性能の向上により、複雑な数理モデルでもそのふるまいをシミュレーションによって見ることができるため、様々な分野で用いられるようになっている。

数理モデルは、対象とする現象や、定式化の抽象度などによって様々なものがある。

◆概要

◇モデルとは

モデルとは、対象とするシステムを簡略化して、その本質を表したものであり、システムを理解するために用いられる。その意味では、地球のモデルとしての地球儀、建造物のモデルとしての設計図、人生のモデルとしての小説、価値のモデルとしての金銭など様々なものがあげられる。

普通、モデルは現実世界のシステムに対して簡略化されているので、現実のシステムを考察するのに比べてモデルだけを対象として考察を行うことが圧倒的に容易である。モデルが現実のシステムの興味がある部分の性質を残していれば、モデルを考察することによってシステムに対する理解(あるいは解釈)を行うことが可能になったり、現実のシステムのふるまいの予測を行うことができるようになる。例えば、実際に歩き回らなくても、地図を見れば行き方がわかるし、宇宙に出なくても地球の形状や各国の分布を知ることができる。

モデル化とは、興味のある本質を残して対象を大幅に簡略化することにより、理解可能にすることである。対象そのものとは別物であり、簡略化によって必然的に対象の持っている多くの性質を失ったものとなる。例えば、地図上で焼き鳥屋を発見してもいい匂いはしない。しかし、そこに行けばいい匂いがしてくるであろうことを想像することができる。これがモデルの役割である。

◇数理モデル

数理モデルは、特に数学によって記述されたモデルのことである。モデルという言葉に含意されているように、対象とのズレ(特に近似や抽象化)が意識されていることが多い。モデルの正当性が実験や観察などによって裏付けられ、非常にうまく行っている事が確かめられている場合は「理論」と呼ばれるようになることもある。もっとも、「理論」という場合、しばし独自の概念の使用なども含んだより包括的な体系となる。

 簡単な例

「A君が歩けば歩くほど前に進む。歩幅が広いほど前に進む。」という現象を

:(距離)=(歩幅)×(歩数)

という数式で表せば、これは数理モデルである。この数理モデルは、積という数学的な概念によって記述されている。このように、現実の対象を数学の中に写像する過程をモデル化という。この数理モデルにおいては、もはやA君が何を話しているのか、どんな表情をしているのか、どちらに向かっているのかといったことは全て捨象されている。しかし、この式を数学的に扱うことは、A君の歩く様子を眺めるよりは極めて容易であり、数学における知見により、例えば、歩幅が50cmで1000歩歩いたら500 m進むということがわかる。また、10 km歩いてきたA君の疲労困憊した顔を見た時に、この数理モデルを用いれば、彼が2万歩歩いたことを計算し、なるほどなと理解することもできる。

 バネの振動の例

バネは、自然長からの伸びが小さい範囲では、伸びた長さと戻ろうとする力が比例することが知られている(フックの法則)。

:力=(比例定数)×(伸び)

:( $F\; =\; -kx$ )