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数論(すうろん、number theory)とは数、特に整数の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。

;初等整数論

:他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。

;代数的整数論

:扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。カール・フリードリヒ・ガウスがおそらくこの分野の創始者である。体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は(他の数学においてもそうだが)基本的な道具である。類体論もこの分野の成果である。

;解析的整数論

:微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。その弟子であるベルンハルト・リーマンによってすでにこの分野の(ひいては数論)の最大の未解決問題であるリーマン予想(1859年)が提示されたのは興味深い。素数定理の証明(1896年)はこの分野の一里塚である。ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。

;数論幾何学

:新しい分野であり、現代的には、アレクサンドル・グロタンディークの構想に基づくとされる。代数幾何学の手法や結果を利用して、問題に取り組む。フェルマーの最終定理もこの分野の手法を利用して解かれた。現在(日本でも)非常に活発に研究されている。

数論のいくつかの問題は、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、上記のどの分野においても、使われる手法は非常に高度であることが多い。

ガウスは次のような言葉を残している。

・「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」

永らく応用は無いと言われてきたが、近年暗号や符号により計算機上での工学的応用が発達しつつある。実際には数論研究はそのあらゆる段階で、物理的、工学的な問題と関連していた。

◆ 数論の未解決問題

数多く存在するが、その多くに素数分布予測の難しさが絡んでいると思われる。問題そのものは初等的に記述できても本質的に現代数学の概念を要請するものが多い。

・ウェアリングの問題

・コラッツの問題

・ゴールドバッハの予想

・双子素数予想

・リーマン予想

・BSD予想

◆ 関連項目

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・数論 page1