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曲線あてはめまたはカーブフィッティング()本間 仁,春日屋 伸昌「次元解析・最小二乗法と実験式」コロナ社(1989)加川 幸雄,霜山 竜一「入門数値解析」朝倉書店(2000)John R. Taylor、林 茂雄、 馬場 凉「計測における誤差解析入門 」東京化学同人(2000)吉沢 康和「新しい誤差論―実験データ解析法 」共立出版 (1989/10) は、実験的に得られたデータまたは制約条件に最もよくあてはまるような曲線を求めること。最良あてはめ、曲線回帰とも。一般に内挿や回帰分析を用いる。場合によっては外挿も用いる。回帰分析で曲線を求める場合、その曲線はデータ点を必ず通るわけではなく、曲線とデータ点群の距離が最小になるようにする。曲線あてはめによって得られた曲線を、近似曲線という。特に回帰分析を用いた場合には回帰曲線という。現実の実験データは直線的ではないことが多いため散布図 近似曲線を求める必要性は極めて高いが、統計学の教科書が数多あるなか、理論的な解説をした成書が殆どない分野である。

◆ 一般論

◇ 最小二乗法による最適関数の推定

われわれが考えるべき問題は、実験データを実験を説明する「説明変数」と「目的変数」に分類した上で、説明変数$\backslash textbf$と、目的変数yの関係

を求めることである。説明変数としては測定条件を考えることが多く、目的変数としては、測定値を

考えることが多い。説明変数、目的変数共にベクトル量である可能性があるが、

測定値のほうは、多変数関数の微分が、値域側の成分に関して独立であることから

スカラー量としても一般性を失わない。一方、多変数関数の微分は、

定義域側の成分については独立でないため、一般論を述べる上では

ベクトル量としておかなければならない。以下、測定条件は、k次元ベクトルの形で与えられていると

する。成分で表記すると

\begin

_\\

\vdots\\

_\\

\end

\right)

となる。

実験データは、説明変数に関するデータ

と目的変数に関するデータ$\_,\backslash cdots\; ,\_$の組、

の形で得られる。また、j番目の測定条件の

第i成分を$\_$で表わすものとする。

われわれが考えるべき問題は、適当な$\backslash alpha$個のパラメータ

と、k+$\backslash alpha$変数の関数

を考え、

$\backslash textbf$の値を調整し

(1-1)

を最小とするような、を求める問題に帰着される。このSの平方根$\backslash sqrt$のことを、「関数当てはめ時の誤差」という。

ここで

\begin

_\\

\vdots\\

_\\

\end

\right)

のことを、フィッティングパラメータと言う。

また、関数Sを考えるときにはは、もはや定数ベクトルでしかないことに注意されたい。飽くまで関数Sの変数は$\_,\backslash cdots\_$である。

尚、Sを定義するにあたり、各データに対して、適当な定数(正または0)$\_,\backslash cdots,\_$

によって重みをつけ、

(1-1')

のようにすることもある。この方法によって、y方向に誤差(Yエラーバー)がある場合や、「測定回数の異なるデータの平均」の比較が可能であるが、x方向にも誤差(Xエラーバー)がある場合には、対応できない。x方向にも誤差がある場合には、デミングの方法を用いる。尚、(1-1)は「(1-1')において、すべてのデータの重みづけが等しい状況」を意味することに注意されたい。

われわれが考えるべき問題は、、(1-1)あるいは(1-1')の関数Sの極値問題島 和久「多変数の微分積分学」近代科学社 (1991/09) に他ならない。一般に、極値問題は解を持たない可能性があり、また、解が存在したとして、

重解の可能性もあるが、一般論として、以下の定理が知られている。

「もしも、が、Sの極値だとすると、である。」

この定理は、最適なフィッティングパラメータに対する必要条件を与える。極小値を与えるようなの十分条件としては、

「Sのにおけるヘッセ行列が負値となること」

がある。無論、極小値が仮に存在したとして、それらが必ずしも最小であるとは限らない。たとえば、最適なが無限遠に存在する可能性もある。

(1-1)のSを最小とするようなフッティングパラメータが得られた場合には、以下の$g(\backslash textbf)$を、最適関数(xがスカラーの場合には、最適曲線)という。

(1-2)

このgは、説明変数$\backslash textbf$と目的変数yの間に一つの関数関係を与えている。つまり、このgは、

$\backslash textbf$とyの関数であり、フィッティングパラメータは定数ベクトルと考える。

一般には、「必ず$(y,\backslash textbf)=(0,\backslash textbf)$を通る」といった付帯条件がついている場合がある。このような場合には、ラグランジュの未定乗数法が最適なフィッティングパラメータを探る上で手がかりを与える。

尚、付帯条件のある場合、ない場合共に、実際の数値計算では、Levenberg-Marquardt algorithm(レーベンバーグ・マルカート法)が用いられることが多い。

◆ 様々な曲線あてはめ

◇ 直線または多項式曲線

まず、次のような1次多項式を考える。

:$y\; =\; ax\; +\; b\backslash ;$

これは、傾斜 a の直線である。直線は任意の2点を結ぶことができる。したがって1次多項式はデータ点が2つある場合に、正確にそれらを通る直線となる。無論、最小二乗法を使う場合には、データの個数によらず最適な直線が一意に定まる。ただし、最適な直線とは、残差平方和が最小というだけで、そのデータの素性を最もよくあらわしているとは限らない。

次数を上げて2次多項式にすると、次のような式になる。

:$y\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c\backslash ;$

この場合、任意の3点にあてはめることができる。

さらに次数を上げて3次多項式にすると、次のような式になる。

:$y\; =\; ax^3\; +\; bx^2\; +\; cx\; +\; d\backslash ;$

この場合、任意の4つの点にあてはめることができる。

より一般化すれば、4つの「制約」を正確に満足する、と言える。制約は点だけでなく、角度や曲率(接する円の半径の逆数)などもある。角度や曲率の制約は曲線の端に設定することが多く、それを端末条件 (end condition) と呼ぶ。多項式曲線を連結したスプライン曲線が滑らかな曲線となるには、連結する両方の多項式曲線で端末条件を同一にする必要がある。より高次の制約として、例えば「曲率の変化率」といった制約を与えることもある。これは例えば、クローバー型インターチェンジで通行する自動車にかかる力を決め、制限速度を決定するのに役立つ。

また、1次多項式は1つの点と角度の制約にあてはめることができ、3次多項式は2つの点と1つの角度、1つの曲率の制約にあてはめることができる。他にも様々な制約の組み合わせで各種次数の多項式をあてはめることができる。

n + 1 個より多い制約があるときでも(n は多項式の次数)、それらを満足する多項式曲線を描くことができる。ただし、全制約を正確に満足するかどうかは定かではない。ただし、例えば3つの点が同一直線上に並ぶような配置であれば、1次多項式を正確にあてはめることができる。一般には近似度を評価する方法を必要とすることになる。最小二乗法は最も一般的な方法である。

ここで、なぜ近似ではなく多項式の次数を高くして正確にあてはめようとしないのかという疑問が生じる。それには、以下のような理由がある。

・ 正確な一致が存在するとしても、それを計算できるとは限らない。使用しているアルゴリズムによっては計算が発散してしまって解を求められなかったり、非常に時間がかかることがある。

・ データそのものに誤差がある場合、各点を正確に通る曲線よりも近似的な曲線の方が好ましい場合がある。

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