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有限インパルス応答(英: Finite impulse response、FIR)は、ディジタルフィルタの一種である。クロネッカーのデルタ入力に対するフィルタの応答特性であるインパルス応答が「有限」であるとは、有限個の標本でゼロに安定することを意味する。対照的に無限インパルス応答フィルタでは、内部フィードバックがあり、無制限に応答し続ける可能性がある。N次FIRフィルタは、インパルスに対して N+1 個の標本まで応答が持続する。

◆ 概要

入力信号と出力信号の関係を定義する差分方程式は以下のようになる。

:$\backslash \; y[外部リンク]n=b\_0\; x[外部リンク]n+\; b\_1\; x[外部リンク]n-1+\; \backslash cdots\; +\; b\_N\; x[外部リンク]n-N$

ここで $x[外部リンク]n$ は入力信号、$y[外部リンク]n$ は出力信号、$b\_$ はフィルタ係数である。$N$ を「フィルタ次数(filter order)」という。$N$次フィルタの場合、右辺に $(N+1)$ 個の項がある。これらの項を一般に taps(タップ)という。

上記の方程式は、フィルタ係数と入力信号の畳み込みとして表現することもできる。

:$\backslash \; y[外部リンク]n=\; \backslash sum\_^b\_i\; x[外部リンク]n-i$

インパルス応答を求めるには、以下のようにする。

:$\backslash \; x[外部リンク]n=\; \backslash delta[外部リンク]n$

ここで $\backslash delta[外部リンク]n$ はクロネッカーのデルタインパルスである。FIRフィルタのインパルス応答は、以下のような係数 $b\_n$ の集合(n は 0 から N)である。

:$$

\begin

h[外部リンク]n &= \sum_^b_i \delta[外部リンク]n-i \\

&= b_n

\end

インパルス応答のZ変換は、FIRフィルタの伝達関数となる。

:$$

\begin

H(z) &= \mathcal\ \\

&= \sum_^ h[外部リンク]n z^ \\

&= \sum_^b_n\,z^

\end

出力は有限個の入力の有限倍の総和であるため、FIRフィルタは明らかに有界入力-有界出力(BIBO)安定であり、入力の実際の最大値の $\backslash sum\; |b\_i|$ 倍以上にはならない。

◆ 特性

FIRフィルタは、無限インパルス応答フィルタに比較して好ましいとされるいくつかの特性を持つ。

・ FIRフィルタは本質的に安定している。これは全ての極が原点にあり、したがって単位円内にあるためである。

・ FIRフィルタはフィードバックを必要としない。これは、丸め誤差が反復によって蓄積されないことを意味する。同じ相対誤差が計算ごとに生じる。

・ 線形位相となるよう設計可能である。すなわち、位相変化が周波数に比例するように設計できる。これは位相が重要となるような応用で必要となる特性であり、クロスオーバーフィルタ(オーディオスピーカーで複数の音域毎のスピーカーに信号を振り分けるフィルタ)や透過的フィルタリングが妥当なマスタリングなどがある。

◆ 関連項目

・フィルタ回路

・無限インパルス応答

・Z変換

◆ 外部リンク

・[外部リンク] FIR FAQ

・[外部リンク] BruteFIR デジタル音響向けのFIRフィルタ・ソフトウェア

・[外部リンク] Freeverb3 Reverb Impulse Response Processor

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